LEON BATTISTA ALBERTI

MATEMÁTICA LÚDICA

Tradução

ANDRÉ TELLES

SUMÁRIO

[PRIMEIRA PARTE]

Medir com a vista a altura de uma torre

Medir a largura de um rio

Medir a altura de uma torre da qual só se consegue avistar o topo

Medir a profundidade de um poço até o nível da água

[SEGUNDA PARTE]

Medir uma grande profundidade de água

Medir tempos

Agrimensura e nivelamento

Medir cargas muito pesadas

Uma outra utilização do equilibra: ajustar uma bombarda

Elaborar o mapa de uma cidade ou de uma região

Medir grandes distâncias

Arquimedes e a coroa de Hiêron

Em memória de Pierre Souffrin, falecido

antes da publicação desta obra, que tudo lhe deve.

De Leon Battista Alberti ao ilustríssimo príncipe Meliaduse, marquês d’Este, estas páginas de entretenimentos matemáticos

Devo admitir que respondo bastante tardiamente, com esta pequena obra, aos anseios que Vossa Senhoria exprimiu. Poderia invocar muitas desculpas e razões, mas prefiro confiar-me a vossa indulgência e bondade, e pedir que me perdoeis. Vossa paciência talvez tenha sido compensada pelo prazer que espero sintais ao conhecer as coisas bastante lúdicas que aqui encontrareis reunidas, ou até mesmo ao pô-las em prática e delas se servir. Empenhei-me em descrevê-las mui claramente; devo, porém, salientar que se trata de matérias bem sutis, cuja exposição não dispensa o leitor de um esforço de atenção. Far-mei-as felicíssimo se ficásseis com ela. Caso desejeis saber mais sobre esses temas, mandai-me informar, tentarei cumprir vossos desejos. Por ora contentai-vos com isso: encontrareis [aqui] coisas notabilíssimas. Recomendo-vos meu irmão Charles, cujo devotamento vos é dedicado assim como a vossa família. Valete.

[PRIMEIRA PARTE]

[MEDIR COM A VISTA A ALTURA DE UMA TORRE]

[Como proceder se podemos conhecer sua distância e medir diretamente uma parte dela]

Se quiser medir a altura de uma torre situada numa praça apenas olhando-a da outra extremidade, proceda da seguinte maneira. Finque uma flecha no chão, bem verticalmente, distancie-se um pouco, seis ou oito pés, e dali vise o topo da torre tomando a flecha como mira; coloque uma marca com um pouco de cera no lugar preciso em que seu olhar encontra a flecha, e chamemos A essa marca de cera. Depois, do mesmo lugar em que tinha mirado o topo da torre, mire sua base e, novamente, ali onde seu olhar encontra a flecha, coloque uma marca de cera, e chamemos essa segunda marca de B. Finalmente, aponte o olhar para algum lugar da torre que conheça e do qual possa facilmente medir a posição até a base da torre com sua flecha, como por exemplo o pórtico de entrada, ou algum buraco, ou algo parecido situado bem embaixo. Assim como fez mirando o topo e depois a base da torre, faça enfim uma terceira marca de cera no lugar em que seu olhar encontra a flecha. Feito isso, chamemos C essa terceira marca, como na FIGURA 1.

FIG. 1

Digo que a parte da flecha que está entre a marca de cera B e a marca C cabe na parte da flecha situada entre o ponto A e o ponto B tantas vezes quanto a parte inferior da torre, já conhecida, cabe na parte superior cuja altura é desconhecida. E para captar mais claramente e na prática esse procedimento, examinemos isto com um exemplo numérico. Caso a torre tenha 100 pés[1] de altura e o pórtico, 10, o senhor encontrará a mesma relação sobre a flecha, isto é, do mesmo modo que essa parte da torre, 10, cabe 9 vezes na parte superior, maior, e é a 10ª parte da torre inteira, assim a parte AC da flecha será tal que, dividida em 9 partes, conterá 9 vezes BC, que é a 10ª parte de AB considerada integralmente. Ao proceder desta forma, nunca incorrerá em erro, contanto que zele para manter o olho sempre no mesmo lugar para colocar as marcas. Pode fazer a mesma coisa suspendendo um fio de chumbo à sua frente e marcando suas miradas com pérolas, como lhe mostrei algumas vezes.

[Como proceder se podemos conhecer a distância da torre, mas não medir diretamente nenhuma parte dela]

O senhor pode calcular da mesma forma a altura de uma torre da qual não consegue medir diretamente nenhuma parte, caso lhe seja possível se aproximar até sua base. Finque no chão uma flecha, como disse anteriormente, afaste-se um pouco e, com o olho à flor do solo, vise o topo da torre utilizando a flecha como mira; coloque uma marca de cera no lugar em que seu olhar encontra a flecha. Chamemos A o topo da flecha, B sua base, C a marca de cera que o senhor colocou e D a posição de seu olho, como na FIGURA 2.

FIG. 2

Digo que a parte da flecha que está entre C e B cabe na distância de B a D, isto é, a distância de seu olho à base da flecha, tantas vezes quanto a altura da torre cabe na distância de seu olho até a base da torre. No caso, por exemplo, de a torre ter 100 pés de altura, e que seu olho esteja 1.000 pés distante da base da torre, o senhor descobrirá em sua flecha que a mira está analogamente situada, isto é, do mesmo modo que 100 cabe 10 vezes em 1.000, assim CB cabe dez vezes em DB. Então, ao medir quantas vezes CB cabe em DB, saberá com esse número sem o menor erro quantas vezes a altura da torre cabe na distância que separa seu olho da base dessa torre. E poderá, de modo similar, fazer a mesma coisa com o fio de chumbo, marcando o ponto C com uma pérola.

[Outras formas bem diretas de proceder]

Alguns acham mais direto aproximar-se da torre de maneira que, caso se esteja deitado no solo com os pés tocando a flecha fincada no chão como disse, a mirada na direção do topo da torre caia na flecha precisamente numa altura igual à distância de seu olho até seus pés. Dizem com razão que haverá tanto da base da torre até seu olho quanto da base ao topo.

Outros apresentam formas de proceder bastante exatas e úteis. Dizem: pega-se um espelho, ou mais simplesmente uma gamela cheia d’água, e pousa-se no chão; vai se afastando, sempre voltado para a torre e para a gamela, até perceber o topo da torre refletir-se na superfície da água; descobre-se que a distância do olho aos pés cabe na distância do olho ao espelho tantas vezes quanto a torre cabe na distância do espelho à base da torre. Examinemos com um exemplo. Chamemos A o topo da torre e B sua base, C o espelho, D o olho e designemos como E a posição dos seus pés, como na FIGURA 3.

Digo que se AB vale 100 pés e BC, 1.000 pés, encontraremos uma mesma relação entre CE e DE, isto é, do mesmo modo que 100 cabe 10 vezes em 1.000, assim DE cabe 10 vezes em CE.

FIG. 3

Se quiser medir a altura de uma torre da qual não pode se aproximar, mas da qual avista bem o topo e a base, é preciso encontrar um meio de conhecer a distância que o separa da base da torre, pois, caso consiga ter essa distância, saberá encontrar a altura da torre buscada pelos recursos fornecidos anteriormente. Para conhecer essa distância, utilize o recurso que apresento a seguir, que permite medir qualquer distância (com precisão maior quanto menor for). Para as distâncias muito grandes, indicarei um recurso específico.

[MEDIR A LARGURA DE UM RIO]

Meça a largura de um rio, a partir da margem, como se segue. Tome posição num lugar bem plano, finque na terra uma flecha, como disse anteriormente, e chamemos essa flecha AB. Faça uma marca de cera nela, precisamente na altura dos olhos, e chame C esta marca. Depois afaste-se dessa flecha AB cerca de uma braça[2], e finque ali de maneira semelhante uma segunda flecha, e seja DE esta segunda flecha; coloque mais uma marca de cera exatamente na altura dos olhos sobre a flecha DE e chame-a F. Coloque o olho precisamente contra esta marca F e mire algo de perceptível na outra margem do rio no alinhamento da flecha AB, como um arbusto, ou algum local ou uma pedra; chamemos esse objeto G. Ali onde seu olhar, na mirada, encontra a flecha AB, coloque uma outra marca de cera e chame-a H, como podemos ver na FIGURA 4.

FIG. 4

Digo que, caso meça a distância entre as duas marcas na primeira flecha, isto é, a distância CH sobre AB, ela caberá tantas vezes na distância que separa as duas flechas, ou seja, CF, quanto HB cabe em BG, isto é, a distância que separa a primeira flecha do arbusto visado. Tomemos um exemplo numérico. Sejam 30 passos a largura do rio, e seja 1 passo a distância CB, e 1 passo também a distância FE. A distância do ponto H ao ponto C será tal que caberá em FC tantas vezes quanto HB cabe em BG, ou seja, 30 vezes, e se HC cabe em CF 30 vezes, então FE caberá em EG também 30 vezes, de modo que a largura do rio seja 30 vezes como a de seu olho a seus pés.

Eis outra forma de proceder, mais ligeira. Se estiver num lugar bem plano, proceda como relatei acima. Pegue duas flechas e faça as marcas C, F e H, como eu disse, depois meça a distância de C a H e fixe uma marca de cera na flecha DE a essa mesma distância abaixo de F; seja I essa marca. Aponte o olhar contra a primeira flecha AB, precisamente até o ponto C, e mire no alinhamento da marca I colocada sobre a segunda flecha FE; ali onde avistar o solo além da flecha FE, coloque um sinal, uma pedra ou o que quiser, e chamemos esse sinal K, como podemos ver na FIGURA 5.

Descobrirá que haverá tanto do sinal K à flecha AB quanto do sinal G que se encontrado outro lado do rio à flecha DE. Essa medida é bem exata, mas a que se segue é ainda mais admirável, embora algo difícil de captar.

FIG. 5

[MEDIR A ALTURA DE UMA TORRE DA QUAL SÓ SE CONSEGUE AVISTAR O TOPO]

Caso aviste o topo de uma torre da qual não consegue ver nada mais e queira conhecer sua altura, faça como se segue. Finque na terra sua flecha como foi dito antes, coloque seu olho no nível do solo e mire o topo da torre; marque com uma cera o ponto de encontro com sua mirada, e chamemos AB a flecha, C o topo da torre, D o ponto em que mantém o olhar e E a marca da cera sobre a flecha. Feito isso, recue um pouco e, da mesma forma, mire a partir do solo o topo da torre e marque o lugar onde sua mirada encontrou a flecha, e chamemos F essa segunda marca de cera, e G o lugar onde estava seu olho para mirar, como podemos ver na FIGURA 6.

Note bem que há nessa figura quatro triângulos, dois dos quais são conhecidos: um grande, FBG, e um pequeno, EBD. A partir destes, podemos conhecer os dois triângulos maiores, um chamado CHG e o outro CHD, e compreender que, da mesma forma que anteriormente, DB corresponde a EB em seu triângulo, assim como GH corresponde a HC no triângulo maior. Meça então, para fazer o cálculo por esse método, quantas vezes EB cabe em DB, e diremos, para dar um exemplo fácil, que cabe ali 2 vezes, donde se deduz que HD é 2 vezes como CH. Meça depois quantas vezes BF cabe em BG, digamos 3 vezes, donde resulta que CH equivale a um terço de HG.

FIG. 6

Segue-se assim que há uma grandeza que está duas vezes em HD e três vezes em GH. Não se sabe quanto vale essa grandeza, se é um côvado[3], um pé ou o que seja. Eis como fazer. Se DH vale 2 e HG 3, então é porque HG ultrapassa HD em 1, e o que é ultrapassado é DG. Logo, DG vale 1/3. Meça esse DG; se for igual a 10 pés, então o HG inteiro será igual a 30 pés. A partir daí raciocine assim. Se a torre CH cabe 3 vezes em toda a distância HG, e se DG equivale a seu terço e cabe portanto 3 vezes no HG inteiro, quem duvidará de que a torre HC é do mesmo comprimento que esse espaço DG? Mas esse comprimento DG vale 10, portanto a torre que é igual a essa distância equivalerá ela também a 10 pés. E em todas as coisas que medir, encontrará semelhantes cálculos sutis, mas utilíssimos, para muitas coisas, cuja medida e mesmo a descoberta de grandezas não são acessíveis diretamente.

[MEDIR A PROFUNDIDADE DE UM POÇO ATÉ O NÍVEL DA ÁGUA]

Os métodos descritos anteriormente também permitem medir profundidades; a título de exemplo, veja esta forma de proceder.

Meça com a vista a profundidade de um poço, até o nível da água, da seguinte forma. Coloque um bambu atravessado no poço o mais baixo possível, de modo que lhe seja também possível atingi-lo com a mão, e fixe-o de uma maneira que agarre bem. Coloque depois o olho na beirada do poço justamente na prumada de uma das extremidades do bambu, de maneira a ver até o fundo da cavidade, isto é, até a superfície da água, e mire a beirada da superfície da água no lugar que se encontra justamente na prumada sob a outra extremidade do bambu. Chamemos A a ponta do bambu oposta ao observador, B a outra ponta que está do seu lado, C seu olho e D a superfície da água no fundo do poço. Feito isso, vise o ponto D na superfície da água, e, no lugar onde seu olhar bater no bambu, coloque uma marca de cera, e chamemos E a essa marca, como podemos ver desenhado na FIGURA 7.

FIG. 7

Digo que o número de vezes que EB couber em BC, ou seja, o número de vezes que a distância entre E e B no bambu cabe na parte do poço compreendida entre seu olho e a ponta do bambu situada na prumada de seu olho, equivalerá ao número de vezes que AB, isto é, o bambu inteiro, couber na profundidade total do poço. Eis um exemplo. Digamos que a profundidade do poço seja 21 côvados, e que AB, isto é, o comprimento do bambu e a largura do poço, seja igual a 3 côvados. Descobrirá assim, medindo como eu disse, que EB cabe em BC o mesmo número de vezes que os bambus necessários para medir o poço. Não me estenderei aqui sobre a medida de tais profundidades, pois sua sensibilidade fará com que compreenda todas as demais a partir desta.

[1] Pés: antiga unidade de medida equivalente a 33 cm. (N.T.)

[2] Braça: antiga medida (ainda em uso no Brasil) equivalente ao comprimento de umpunho a outro de um adulto com os braços lateralmente estendidos. (N.T.)

[3] Côvado: antiga unidade de medida equivalente a 0,66 cm. (N.T.)

[SEGUNDA PARTE]

[MEDIR UMA GRANDE PROFUNDIDADE DE ÁGUA]

Não poderia deixar de mencionar certo método proposto pelos antigos que permite medir águas muito profundas, como por exemplo a laguna de Ádria, ou ainda mais profunda.

Se quiser medir a profundidade de uma laguna da qual não consegue atingir o fundo nem com a sonda nem com uma grande extensão de cabos, faça como se segue. Tenha um recipiente que possa conter água, um vaso ou uma xícara, ou o que quiser, e faça no fundo um pequeno furo. Tenha também uma noz de galha de carvalho, fixe nela um pequeno pedaço de ferro da forma do sinal que representa o 5 nos ábacos, e enfie na galha a metade da maior ponta desse pedacinho de ferro, enquanto a outra metade permanece no exterior. Tenha chumbos com um peso razoável, que farão a galha correr até o fundo, e proceda de modo que esses chumbos, o recipiente e a galha estejam dispostos como vê no desenho na FIGURA 8.

Fixe um desses chumbos na galha, dirija-se a um lugar onde a profundidade da água foi previamente medida com uma sonda e lhe tenha sido informada, e ali encha com água seu recipiente; que seja água pura, e pese muito precisamente quantas onças e grãos[4] totalizam a água e o recipiente. Efetuados tais preparativos, deixe cair na água a galha com seu chumbo e ao mesmo tempo deixe a água escoar do recipiente. A galha será então arrastada pelo chumbo até o fundo. À chegada do chumbo, é sua extremidade marcada como C que tocará primeiro o fundo que ali se deterá, e assim a extremidade B irá inclinar-se para o solo de modo que a ponta A fixada no fio de ferro se destaque dele, e a galha liberada voltará à superfície. Feche então rapidamente com o dedo o recipiente a fim de que a água não escape mais, em seguida pese o que resta dela e o que falta, e observe quanto de água escoou durante o tempo levado pela galha para percorrer tantos côvados e voltar. Não insisto, acredito que compreenderá perfeitamente que com tal procedimento poderá facilmente medir a profundidade do mar, contanto que não haja corrente.

FIG. 8

[MEDIR TEMPOS]

Relógios de grande precisão são feitos com tais recipientes e tais princípios, e há muitos meios apropriados para se medir tempos da ordem de uma meia hora ou uma hora. De fato, tudo que tem algum movimento é apropriado à medição do tempo, e todos os relógios são fabricados segundo este fundamento, como aqueles em que pesos se abaixam, sejam os contrapesos areia, água ou outra coisa.

Os relógios também são feitos com fogo e com ar. Alguns utilizam mechas de talco, anotando o peso do azeite queimado no decurso de uma hora: iluminam as mechas na hora apropriada e obtêm dessa forma uma boa medida.

[Um relógio divertido: a fonte pneumática]

O relógio a ar é muito divertido, pois é uma fonte que, posta em funcionamento durante certo lapso de tempo, repele a água pela força do ar, e é feito como se segue.

Disponha de um recipiente com uma altura de 3 palmos[5], cuja abertura superior chamaremos AB, e o fundo, CD. Nesse recipiente, fixe dois outros fundos distantes um do outro cerca de uma mão, e chamemos EF o primeiro e GH o segundo, isto é, aquele que está mais próximo da borda superior. Todos esses fundos são bem fixados no recipiente de forma que não haja nenhum ponto de escape. No fundo GH, o mais alto, faça um buraco e fixe ali uma haste oca que o atravesse verticalmente quase até o fundo EF e que ultrapasse para cima o nível da borda AB. Chamemos essa haste IK. É preciso ainda que haja um outro buraco no fundo GH, e embaixo, em sua vertical, um outro no fundo EF. Passe por esses dois buracos uma haste perfurada que atravesse de um fundo a outro, isto é, de GH a EF, cuja ponta inferior vá até quase o fundo CD e cuja ponta de cima esteja no nível do fundo GH; chamemos a ponta de cima dessa haste L, e M a de baixo. Além disso, é preciso que uma haste passe justinha por um buraco no fundo EF, cuja ponta inferior, digamos O, esteja no nível do fundo EF, e cuja ponta superior, chamemo-la N, quase atinja o fundo GH. Haverá então, como vemos na figura, três fundos, um em cima do outro, ou seja, CD, EF e GH, e três hastes: IK, que atravessa o fundo GH; LM, que atravessa o fundo EF e vai até o fundo GH; e NO, que atravessa o fundo EF. Acrescente no fundo GH um buraco sem haste, pelo qual poderá encher o recipiente de água da forma que indicaremos, e chamemos P esse buraco, conforme indicado na FIGURA 9.

Encha de água pelo buraco P a parte situada entre o fundo GH e o fundo EF, depois feche bem o buraco P de modo que não entre nem saia mais água. Depois feche a abertura L da haste LM, e encha com água a parte superior do recipiente situada entre o topo AB e o fundo GH. Quando tudo isso estiver instalado, destape a extremidade L da haste LM. A água passará para a parte de baixo situada entre EF e CD, a qual, ao se encher de água, repelirá o ar que ali se encontrava e o enviará pela haste NO para a parte do recipiente situada entre EF e GH. Dali o ar repelirá a água pela haste IK, e, enquanto ali houver ar, sua força [impeto] continuará a repelir água para o exterior, o que produz um jato d’água bastante divertido.

FIG. 9

[Medir o tempo pelo movimento do Sol e das estrelas]

Os relógios baseados no movimento do Sol e das estrelas são os melhores e mais exatos; há vários deles e de todos os tipos, como o astrolábio, o quadrante solar, as esferas armilares e esses anéis portáteis que me calha fazer, e outras coisas desse gênero. Seu funcionamento é explicado por numerosos autores e demanda tempo. Mas, no que se refere aos exercícios e jogos que apresento aqui, resume-se simplesmente no seguinte: quase todos regulam-se pela direção sul, porque é o mais preciso e mais regular de todos os marcos celestes.

Se portanto quiser encontrar a direção sul num lugar qualquer, fará como se segue. Finque bem reto sua flecha num local plano, certifique-se de que permaneça em posição bem verti cal, como disse antes, depois, entre o almoço e meio-dia, pegue um barbante, amarre na base da flecha, corte-o justamente no lugar em que termina a sombra da flecha sobre o solo e, girando, faça no chão um círculo em torno dessa flecha. A ponta da flecha fincada será portanto o centro desse círculo, que chamaremos A. Chamemos B o lugar em que a extremidade da sombra da flecha cai precisamente sobre o círculo. Deixe a flecha como está. Enfie um pedaço de madeira no ponto B. Volte uma hora mais tarde; verá que a sombra da flecha encontra-se em outro ponto. Espere que venha tocar precisamente o círculo e marque com outro pedaço de madeira o lugar, que estará mais perto do lado onde o Sol nasce; chamemos C essa marca, como podemos ver na FIGURA 10.

FIG. 10

Divida a reta BC, isto é, a distância entre as duas marcas, em duas partes iguais; chamemos D o meio; estique um traço do ponto A no interior do círculo até esse ponto D. Essa reta está dirigida precisamente para o sul do lugar. A partir daí poderá instalar corretamente os quadrantes solares e outras coisas desse gênero.

Para saber a hora noturna sem outro instrumento a não ser o olhar, proceda como se segue. À noite, quando surgirem as estrelas, encontre a Polar, estrela bem conhecida, e observe acima de que árvore, de que torre, chaminé ou outra coisa desse gênero ela se encontra quando estiver em determinado lugar; depois, entre as estrelas que cercam a Polar, escolha uma grande, que possa facilmente reconhecer, e observe igualmente o ponto de referência acima do qual ela se encontra nesse momento. Saiba que essa estrela volta em 24 horas ao mesmo lugar, acima da referência, e que gira regularmente em torno da Polar. Durante a noite, no momento em que quiser determinar a hora, veja que parte do círculo inteiro ela percorreu. Se, por exemplo, fez um quarto de círculo, 6 horas terão se passado; se tiver feito um terço, serão então 8 horas etc.

Há um meio para encontrar a Polar: alguns a chamam Carruagem, outros Chifre, por analogia, e trata-se de estrelas dispostas como podemos ver na FIGURA 11.

FIG. 11

Se traçar, com o olhar, uma reta passando pelas duas estrelas maiores que se encontram por trás dessa configuração estelar, dará na passagem com uma estrela, não pequena mas tampouco muito grande. Essa primeira estrela será precisamente aquela que está buscando, e dista das duas estrelas mencionadas algo como 4 vezes a distância de uma a outra. Essas estrelas são habitualmente designadas tanto como “as rodas da Carruagem” como “a abertura do Chifre”. Eis seu aspecto (FIGURA 12).

FIG. 12

[AGRIMENSURA E NIVELAMENTO]

[Medir campos de formas variadas]

Mas voltemos agora para o que o senhor me pedira e falemos dos recursos para se medir os campos. Os autores da Antiguidade, em particular Columela, Savasorda e outros agrimensores, e entre os modernos Leonardo de Pisa[6], estenderam-se bastante sobre esse assunto; são coisas complexas e eruditas, contudo vou descrever as mais divertidas e, ao mesmo tempo, as que podem ser mais úteis. Não enumero, por preocupação com a brevidade, todas as formas de campos: quadrados, mais compridos que largos, mais estreitos numa ponta que na outra, de três lados, com muitos lados, redondos ou partes de um círculo, ou outros. Suponho aqui que os campos têm seus lados totalmente arredondados, ou feitos de segmentos de reta, ou de arcos de círculo e segmentos de reta, ou então de vários arcos de círculo, como podemos ver na amostra fornecida na FIGURA 13.

FIG. 13

Se quiser medi-los, proceda da seguinte forma.

Comecemos por aqueles cujos lados são todos retos. Se o campo apresentar lados retos e ângulos de esquadro, descobrirá facilmente quanto totaliza em pés quadrados agindo como digo. Pegue o lado que quiser e anote quantos pés há de uma ponta à outra. Quando chegar à ponta, siga para o comprimento do outro, e meça-o. Descobrirá por exemplo que um desses lados totaliza 10 pés, e o outro 10 também. Multiplique os dois números um pelo outro. Quem contar 10 vezes 10 encontrará 100. Temos então 100 pés quadrados. Se tivéssemos considerado por exemplo 10 para um lado e 20 para o outro, então teríamos tido 20 vezes 10, ou seja, 200.

Caso o campo tenha três lados e um dos ângulos seja também de esquadro, faça assim. Pegue um dos lados que tenha uma extremidade de ângulo reto e conte quantos pés totaliza. Conte em seguida do mesmo modo para o outro lado que termina também em ângulo reto, e, como fizera no caso anterior, multiplique um pelo outro: será o seu campo. Por exemplo, se um dos lados totaliza 10 e o outro 10 também, isso dará 100. A metade será 50 e será o que valerá seu campo de três lados (FIGURA 14).

FIG. 14

Caso seu campo não tenha nenhuma dessas duas formas, mas ainda assim apresente todos os lados retilíneos, faça como se segue. Convém dispor de um grande esquadro; comece pelo lado que lhe pareça mais conveniente e, guiando-se pelo esquadro, trace retas com fios, pegue todos os retângulos e multiplique como foi dito anteriormente. E se restarem triângulos, marque ângulos retos com seu esquadro fazendo separações nos lugares que lhe parecem mais adequados, faça a soma, e o método funcionará. Eis alguns exemplos para lhe dar uma ideia da maneira de fazer as separações (FIGURA 15):

FIG. 15

Cuide para que o esquadro seja bem grande caso queira obter uma boa precisão. Haverá menos erros com um esquadro maior.

Faça um esquadro perfeito com uma corda da seguinte maneira: parta de uma ponta de sua corda, dê 3 passos e faça um nó. A partir desse nó, dê mais 4 passos, faça nesse ponto um segundo nó e dali continue a medir; quando tiver dado 5 passos, faça um terceiro nó. Terá assim medido no total 12 passos de corda. Amarre o terceiro nó no início da corda e fixe-o no solo com uma estaca. Procure o primeiro nó, estique o fio pelo chão e ali coloque outra estaca. Finalmente, procure o outro nó e finque ali, da mesma forma, outra estaca. Terá assim um triângulo perfeito. Ele será retângulo entre os comprimentos de 3 e 4 passos (FIGURA 16).

Alguns dão 5 passos, 5 passos e 7 passos, e fazem como nós um triângulo. Enganam-se, e seus retângulos não são corretos, salvando-se 1 em 50. Isso basta para o que se refere a campos limitados por retas.

FIG. 16

Caso o campo seja circular, é preciso tomar sua largura e multiplicá-la por 3 e 1/7. Por exemplo, se tem 14 passos de largura, multiplicado por 3 e 1/7 isso dá 44 passos, e esse total é igual a toda a sua circunferência. Pegue agora a metade de sua largura, ou seja, 7, e a metade do círculo, ou seja, 22, e multiplique 7 por 22: total 154. Isso, quer dizer, 154, será igual ao campo inteiro. Eis a FIGURA 17:

FIG. 17

Caso o campo não seja redondo, mas limitado por vários arcos de círculo, trace todos os retângulos e todos os triângulos ali contidos; proceda como disse anteriormente. Restarão as partes semelhantes à metade de uma lua (no mínimo). Se uma parte compuser um semicírculo perfeito, saberá quanto iria perfazer o círculo completo mediante o recurso fornecido acima, e levará em conta sua metade. Para o caso de menos de uma metade de círculo, em forma de arco, os antigos criaram uma tabela com a qual se medem a corda e a flecha do meio da corda ao topo do arco, obtendo com essa tabela uma precisão bastante boa. Mas isso são coisas muito complexas, que não dizem respeito aos entretenimentos que proponho. Para seus propósitos, basta pegar todos os retângulos e todos os triângulos e transformá-los em triângulos retângulos como vimos anteriormente (FIGURA 18).

FIG. 18

Se no entanto quiser ter algumas indicações para compreender o cálculo dos antigos, é preciso dividir a corda em duas partes que serão multiplicadas uma pela outra: por exemplo: se a corda mede 4 pés, dirá 2 vezes 2 fazem 4, depois pegará a flecha e a multiplicará pelo resto do diâmetro. Se a flecha mede 1, o resto do diâmetro é o número que, multiplicado por 1, vale 4. Teremos então 4, e o senhor dirá: 1 vezes 4 dá 4, e esses dois números juntos, isto é, 1 e 4, me fornecem todo o diâmetro, que dá 5. Dividirá 5 em dois, restam 2 e ½. Divida toda a flecha, ou seja, 1, resta 1 e ½. Multiplique esse resto pela metade da corda, e terá toda a superfície dessa parte, que dá 3. Isso no caso de o arco ser menor que a semicircunferência; se for maior, encontrará a diferença da seguinte maneira.

Columela apresenta precisamente certas formas de dividir [a área do círculo] que bastarão para esse propósito. Se a corda do arco mede 16 pés, e a flecha 4 pés, somando-se esses números teremos 20. Pegue 4 vezes essa soma, o que fará 80. A metade disso é 40, e a metade da corda vale 8; somando-se a metade da corda obteremos então 48. Divida a soma em 14 partes; isso dará aproximadamente 44. É o que vale esse arco. Procederá da mesma forma para os outros arcos. Estas são altas considerações, bastante admiráveis e extraídas de uma grande teoria. Mas como meu propósito aqui é apenas apresentar coisas agradáveis, não insistirei em tais sutilezas.

[O equilibra: um instrumento prático que pode servir para medir todo tipo de coisas]

O senhor também me solicitou algo de prático para controlar as águas dos ribeirões e dos rios; portanto, vou lhe propor para tal um procedimento pouco comum. Mas caso deseje ter uma noção clara e completa dessas questões, isto é, como águas subterrâneas foram encontradas, por que artifícios foram captadas, como são feitas as canalizações, qual é o regime dos pequenos cursos d’água, que disposições moderam a violência dos cursos dos rios, por que meios são desviados e reorientados, reporte-se a meus livros sobre arquitetura escritos a pedido de seu ilustre irmão monsenhor Leonello, e ali encontrará muitas coisas que o divertirão.

São feitos inúmeros instrumentos para o nivelamento das águas. Este lhe agradará, pois é simples e dos mais exatos. Pegue a flecha, ou algum outro objeto bem reto, e se não tiver régua bem reta, faça um arco de pelo menos 1 pé, introduza a corda e, em cada uma das duas pontas, amarre um fio de pelo menos 4 pés; caso os dois fios sejam do mesmo comprimento, amarre conjuntamente as pontas livres. Terá realizado assim um triângulo de que dois dos lados são fios e o terceiro é a flecha ou a corda do arco. Coloque uma marca de cera no meio da flecha ou da corda do arco, e, na junção dos dois fios, amarre um terceiro com o comprimento de 4 pés à outra ponta, na qual terá fixado um chumbo. Chamemos A o ângulo em que os três fios estão amarrados juntos, B a primeira marca numa das pontas da flecha, C a segunda, D a marca de cera que está no meio da flecha e E o chumbo, como na FIGURA 19.

FIG. 19

Esse instrumento chama-se equilibra e pode servir para medir todo tipo de coisas. Quando o ângulo é suspenso em algum ponto fixo, como uma balança, com pesos iguais fixados, um em B e o outro em C, o fio AE que pende com seu chumbo cai justamente sobre a marca de cera D. Consegue-se assim, colocando ou retirando pesos, que o equilibra fique exatamente na horizontal. Esse instrumento é utilizado para muitas outras coisas, mas sobretudo para o nivelamento das águas.

[Nivelar e regular os cursos d’água]

Aponte [a mira] na direção da reta BC, e por sua divisão encontrará a altura da água. Mas, nesse caso, muitos se enganam ao realizar nivelamentos, pois não compreendem que a Terra é redonda e curvada de tal forma que o lugar de onde se faz o nivelamento parece sempre mais elevado que o outro. Não me estendo na explicação de como conhecemos essa curvatura e o que ela vale, e quantos graus correspondem, no céu, a suas milhas. Basta saber que a Terra curva-se para baixo um pé a cada 9.000 pés, descendo abaixo de qualquer horizontal. E se não quiser efetuar cálculos, faça o nivelamento de um lugar a outro, depois faça do segundo lugar ao primeiro e registre o que vê sobre as miras; pegando a metade da distância entre as duas marcas, terá uma medida correta (FIGURA 20).

FIG. 20

Por outro lado, não mire colocando o olho diretamente contra o equilibra, mas ficando a uma certa distância, de modo a ter pelo menos quatro pontos alinhados: um, a coisa visada; dois, o ponto B do equilibra; três, o ponto C do equilibra [ver FIGURA 19]; e o quarto, seu olho. No caso de medir a inclinação de um terreno, saiba que a água não corre, ficando estagnada se não tiver uma inclinação de pelo menos um terço de côvado por mil, e que mesmo isso não basta caso não flua diretamente, pois então, se encontrar aqui ou ali algum obstáculo, ela para e fica estagnada. Caso se choque com uma borda firme e resis tente, a água faz como uma bola numa parede: se for atirada de perto, de viés, não se afasta muito, ao passo que, se for atirada de longe, afasta-se muito do ponto de impacto e parte atravessada. Acontece o mesmo para a força [impeto] da água: se o obstáculo encontrado for um pouco oblíquo, ela se afasta um pouco, mas se o encontrar atravessado afasta-se muito dele e vai se chocar e roçar a margem oposta. Eis a razão pela qual muitos, que não entendem nada disso, fazem em vão reparos numa margem quando deveriam repelir ou arredondar a margem oposta, ou então erguer um outro obstáculo à sua frente, de onde a água, precipitando-se para seu oposto, ver-se-ia obrigada a redirecionar seu curso. Além disso, a água erode o fundo ali onde cai e ali onde produz um remoinho, de modo que o peso que cai perturba o remoinho, e a água perturbada arrasta o fundo com ela. Esses princípios bastarão por ora.

[Determinar pesos pouco significativos]

Esse equilibra permite medir qualquer peso da seguinte maneira: o fio chumbado AE afasta-se da marca de cera D, na mesma proporção que o peso do qual se aproxima pesa mais que aquele que está na outra ponta. Quanto pesa além, poderemos saber assim: um dos pesos está contido no outro o número de vezes que a parte da flecha situada entre uma extremidade e o fio AE está contida no resto da flecha. Por exemplo: digamos que a flecha tenha 6 pés de comprimento, que o peso em B seja de 4 libras e o peso em C, 2 libras. Descobrirá então que o fio AE estará mais perto de 4 libras e que a parte desse lado terá 2 pés e a outra 4 pés. Poderia mostrar-lhe como medir qual quer distância, altura ou profundidade com o equilibra. Mas julgo que isso bastará por ora. Eis o desenho do exemplo que forneço da maneira de pesar (FIGURA 21).

FIG. 21

[MEDIR CARGAS MUITO PESADAS]

Uma vez que é questão de pesagem, talvez fosse oportuno mostrar-lhe como pesar um peso considerável, como o de uma carroça com seus bois e sua carga, com a ajuda de uma balança romana capaz de suportar no máximo um peso de 50 libras.

É preciso dispor de uma ponte semelhante às levadiças; disponha de forma que ela seja suspensa por suas correntes na extremidade de uma viga que ultrapasse a parte superior da entrada, como se faz no caso das pontes levadiças. E que do lugar em que a viga repousa sobre seu ponto de apoio até as correntes haja uma distância inferior àquela desse ponto de apoio à outra extremidade da viga, no interior, além da entrada. Chamemos A a extremidade das correntes, B a outra extremidade que está no interior, e C o ponto de apoio. Na extremidade B instale um cadernal[7] e fixe a ponta da corda que passará nesse cadernal em alguma roda dentada no interior embaixo da porta, e chamemos D esse ponto. Na outra extremidade da corda, fixe sua balança no chão por um de seus ganchos, como se vê na FIGURA 22. E chamemos E a ponta da corda à qual está presa a balança. Quando a carroça com seus bois estiver sobre essa ponte, puxe a ponta E da corda e prenda a balança em D. A ponte irá se deslocar para cima. Basta que se erga quatro dedos. Digo que, uma vez que tiver deduzido quantas libras[8] da carroça são sustentadas por uma onça sobre sua balança, poderá, com essa medida, pesar qualquer peso. E vos recordo o que dizia anteriormente: tantas vezes a parte mais comprida da viga AB contiver a menor, tantas libras serão equilibradas por uma única libra colocada em sua extremidade; e o mesmo ocorre no caso do cadernal: tantas vezes a corda for de cima para baixo e de baixo para cima, outras tantas o peso será dividido de modo que uma única libra suporte quatro ou seis de acordo com o número de voltas [que a corda dá no cadernal].

FIG. 22

[UMA OUTRA UTILIZAÇÃO DO EQUILIBRA: AJUSTAR UMA BOMBARDA]

Lembro-me de lhe ter apresentado um método de orientar uma bombarda[9] sem avistar o lugar que o projétil deve atingir. Não gostaria de omiti-lo, mais para mostrar-lhe uma utilização de seu equilibra que para discutir coisas alheias tanto a vossa dignidade como a vossa autoridade. Proceda da seguinte forma.

Pese e anote a quantidade de pólvora, assim como o que dispõe como projétil, mecha e calço. Marque bem a disposição da bombarda, onde está colocada e como está dirigida. A maneira correta de proceder é a seguinte. Faça uma marca na borda externa da bombarda, acima da boca-de-fogo, no meio, e outra marca semelhante na outra extremidade. De ambos os lados das duas pontas, finque no solo bastões e anote as distâncias de sua bombarda até esses bastões. Suspenda em seguida seu equilibra, alinhe-o sobre as duas marcas feitas e anote onde cai o fio chumbado sobre seu equilibra, e também quanto cada uma de suas extremidades está distante das ditas marcas. E da extremidade em que ele está colocado, vise o ponto situado no oposto do lugar que gostaria de atingir e coloque um sinal no lugar onde cai a visada do equilibra. Feito isso, ateie fogo à bombarda. Verá onde o tiro caiu, e, para o segundo, ajuste para cima, para baixo ou para o lado deslocando o sinal colocado atrás, deslocando a bombarda sobre o equilibra. Conviria que esse sinal estivesse na mesma distância que o lugar que pretende atingir. Para conhecer essa distância, faça como eu disse antes. Veja a FIGURA 23, que ilustra o que acabo de dizer. Esse método seria bastante proveitoso para aqueles que se servem de uma arbaleta, mas não me estenderei sobre como proceder nesse caso.

[ELABORAR O MAPA DE UMA CIDADE OU DE UMA REGIÃO]

Quero acrescentar, ao que foi descrito antes, um instrumento que se irá adaptar, como verá, a esses trabalhos, e sobretudo para as pessoas que usam uma balista[10] ou alguma outra máquina de guerra do gênero. Quanto a mim, utilizo-o para fazer coisas bastante agradáveis, como estabelecer a dimensão de uma região ou fazer o mapa de uma cidade, como quando fiz o mapa de Roma. Vou descrever-lhe então esse instrumento, bem como a maneira de proceder.

FIG. 23

Meça o local e os limites de uma cidade, suas ruas e seus lugares da forma seguinte. Faça um círculo sobre uma mesa grande de pelo menos um côvado e divida sua periferia com marcas em tantas partes iguais quantas quiser; quanto mais fizer, melhor ficará, contanto que sejam distintas e sem ambiguidade. Habitualmente divido o círculo em 12 partes iguais traçando diâmetros. Depois divido o limbo, isto é, o contorno, em 48 partes, e chamo essas partes de graus. Depois divido cada um desses graus em 4 partes que chamo minutos. Em cada um desses graus inscrevo seus números, como está marcado na FIGURA 24.

FIG. 24

Quando quiser elaborar seu mapa, coloque esse instrumento num lugar plano e elevado de onde perceba vários locais da cidade em questão, como campanários, torres e outras coisas do gênero. Tenha à mão um fio de chumbo, afaste-se cerca de dois côvados do instrumento e vise uma após a outra as coisas perceptíveis de modo que seu olhar encontre ao mesmo tempo o fio de chumbo, o centro do círculo e a torre que está visando. E anote numa folha à parte o número que está lendo na borda do círculo na direção do que vê. Exemplo: imagine que esteja sobre a torre do castelo com seu instrumento e que esteja visando a porta lá em cima; observe que a visada passa pela divisão 2 minutos de 20 graus; anote no papel: porta do alto 20 graus e 2 minutos. E não mexa no instrumento, é o senhor que deve se deslocar para visar os ângulos. Sua visada cairá por exemplo na inscrição 32 graus 0 minuto do instrumento; anote em sua folha: ângulo 32. E faça o mesmo para os outros pontos, sem mexer no instrumento. Feito isso, dirija-se a um segundo lugar comparável que tiver visto a partir do primeiro, e instale ali seu instrumento de tal forma que (o primeiro) esteja precisamente na reta que passa pelo número na direção do qual o senhor avistara (esse segundo lugar) sobre seu instrumento, ou seja, se um navio tivesse que partir da torre onde o senhor estava para onde se encontra agora, iria efetivamente sob esse mesmo vento marcado 20.2 ou 30.0, ou outro. E de lá refaça o que fez a partir do castelo: destaque os arredores e anote tudo isso numa outra folha.

Depois, dirija-se a um terceiro local, e lá proceda de novo da mesma forma, destacando tudo e anotando tudo para lembrar. Eis um esquema da maneira pela qual deve proceder; essa figura irá esclarecer o que estou dizendo (FIGURA 25).

Faça portanto assim. Comece por marcar, na superfície sobre a qual queira fazer o mapa, um ponto a partir do qual julgue que pode desenhar toda a figura, e que este seja a posição de um dos dois lugares de onde fez suas observações. Digamos, por exemplo, que seja o castelo; anote ali, acima do ponto marcado: O CASTELO. Coloque sobre esse ponto um pequeno instrumento de papel de meio palmo de largura, semelhante ao grande que utilizou para fazer os destaques, e dividido da mesma forma; instale-o de modo que seu centro fique precisamente sobre seu ponto, e a partir desse ponto trace todas as retas seguindo o que anotou na folha. Coloque igualmente um outro ponto onde lhe parecer bom sobre a reta que já traçou na superfície, reta que lhe fornece um dos dois outros lugares de onde havia feito as visadas, e sobre esse segundo ponto coloque também um mesmo pequeno instrumento de papel, e instale-o de maneira que a reta cujo número, em sua folha, está associado ao CASTELO lhe corresponda, isto é, de modo que os dois (pequenos) instrumentos sejam uma reta que, sobre cada um, indique o outro lugar. Dali, trace também todas as retas segundo os números destacados em sua folha, e ali onde a reta traçada do primeiro instrumento, que indica, digamos, São Domingo, corte a reta do segundo instrumento que aponta igualmente São Domingo, coloque um ponto e escreva em cima: SÃO DOMINGO. E faça o mesmo com todos os outros lugares. No caso de duas retas não se cortarem formando um ângulo bem determinado, coloque um pequeno instrumento sobre o terceiro ponto de onde havia referenciado tudo e instale-o como fizera com os outros para que suas retas se correspondessem, e tudo ficará muito claro. Não é muito fácil explicar tudo isso com palavras, mas a coisa não é difícil em si, e torna-se bastante prazerosa, como poderá constatar.

FIG. 25

Consegui encontrar, por esse meio, um aqueduto antigo do qual se percebiam alguns vestígios e cujo traçado se perdia na montanha. O senhor terá compreendido que o método permite tomar notas de qualquer viagem ou circuito em qualquer labirinto ou lugar deserto, sem risco de erro.

E pode, com isso, medir muito precisamente as distâncias. Se quiser conhecer a distância, em linha reta, da torre do Burrico ao castelo, fará assim.

Posicione o instrumento, disposto como foi explicado, observe o número sobre o qual se vê a torre, depois vise outro lugar a alguma distância daquele onde se encontra. Por exemplo, o senhor está em uma das extremidades da galeria do castelo; coloque um sinal na outra extremidade, observe-o e anote seus graus e minutos. Em seguida leve o instrumento para a extremidade da galeria que destacou, instale-o como dissemos para que a reta ao longo da galeria corresponda com exatidão e dali observe de novo a torre; anote então os números no instrumento. Feito isso, tenha na sala ou em outro lugar uma superfície plana, e, como quisesse fazer um mapa semelhante ao que falamos anteriormente, marque seus pontos e trace as retas com ajuda do instrumento exatamente como dissemos, e marque onde elas se cortam, dessa maneira (FIGURA 26).

FIG. 26

Digo que a distância entre os dois pontos marcados cabe tantas vezes na reta limitada por um desses pontos e a interseção das duas retas quanto a distância entre as duas extremidades da galeria cabe na distância desse ponto ao Burrico. Veja isso na figura com números. Se de um dos pontos a outro há 10 polegadas, e se desse ponto àquele onde as retas se cortam há 220 polegadas, diremos que dessa extremidade da galeria até a torre do Burrico há 22 vezes o mesmo que de uma ponta à outra da galeria. Isso lhe será bastante útil para as pequenas distâncias, mas para as grandes distâncias ser-lhe-ia necessário um grande instrumento, e pretendo fornecer-lhe um meio pelo qual medirá, com três cerejas, a distância em linha reta de Bolonha a Ferrara.

[MEDIR GRANDES DISTÂNCIAS]

[Medir a distância de um lugar longínquo que podemos perceber]

Meça qualquer grande distância da seguinte forma. Digamos que queira medir a distância, em linha reta, de seu mosteiro a Bolonha. Dirija-se para qualquer grande prado de onde possa avistar Bolonha e finque na terra duas flechas, bem verticalmente como já disse, mas distantes 1.000 pés, ou mais, se quiser, contanto que sejam visíveis uma da outra e que Bolonha seja vista tanto a partir de uma quanto da outra, de modo que todas as três, isto é, Bolonha e as duas flechas, formem um triângulo bem disposto. Feito isso, comece por uma das flechas, digamos a mais próxima de Ferrara: posicione-se em frente a essa flecha, dando as costas para a cidade, e vise a segunda flecha pela primeira, bem próximo. Sobre a reta que sua visada seguir sobre o solo, coloque, a uma distância de 20 pés de sua flecha, um marco, digamos, uma cereja, se lhe agradar. Depois volte-se na direção de Bolonha, vise na direção dessa mesma flecha e coloque então uma rosa, ou o que quiser, a uma distância de 30 pés sobre a linha que sua visada seguir no solo. Terá então marcado sobre o solo um triângulo do qual um dos ângulos dirigido para Ferrara será a flecha, um outro, para o mar, uma cereja, e o último, para Bolonha, uma rosa. Chamemos A essa flecha, B a cereja e C a rosa. Meça quanto há de B a A, de A a C e de C a B, e anote bem essas medidas. Em seguida, dirija-se à segunda flecha, volte-se para Ferrara e afaste-se 25 pés, e por essa flecha vise na direção da primeira e sobre a linha de visada coloque uma cereja a uma distância dessa segunda flecha igual à distância de B a A. Volte-se para Bolonha e coloque no chão uma rosa a mesma distância da cereja que C está distante de B,e a mesma distância da flecha que C está distante de A no primeiro triângulo, e estique um fio dessa flecha até a rosa. Feito isso, volte para lá onde havia colocado a cereja, vise Bolonha na direção dessa cereja, marque bem onde a visada corta, no chão, o fio colocado e esticado entre a flecha e a rosa, e coloque ali uma vareta. Terá marcado aí um outro triângulo, cuja flecha será o primeiro vértice (que chamaremos D), a cereja o segundo (E) e a vareta o terceiro (F). E para me fazer melhor entender, eis um desenho que mostra tudo isso (FIGURA 27).

FIG. 27

Digo que convém considerar que o senhor tem aqui três triângulos, um dos quais é ABC, o segundo DEF, o terceiro aquele cujos vértices são Bolonha, a flecha A e a cereja E. Meça quantas vezes a reta EF contém a reta ED em seu pequeno triângulo: toda a reta desde E até Bolonha conterá o mesmo número de vezes EA em seu grande triângulo. Para melhor expressar-me, eis o exemplo de tudo isso com números. Seja DE igual a 10 pés e EF igual a 40 pés. Digo que como 10 cabe 4 vezes em 40, do mesmo modo a reta ou o espaço EA caberá 4 vezes na reta ou na distância entre E e Bolonha; e se ED cabe 30 veze sem EF, de onde o senhor está até Bolonha haverá 30 vezes o que há de A até E.

[Medir a distância percorrida por ocasião de uma longa viagem]

Mas uma vez que nem sempre se pode enxergar a tais distâncias, e que é bom saber precisamente a que distância se acha esta ou aquela coisa, vou dar-lhe um meio de medir, estando deitado e dormindo, que distância há de Ferrara a Milão, com margem de erro mínima. Proceda assim. O senhor precisa de uma carroça, e quanto maiores forem suas rodas, melhor. No grande miolo da roda, no qual estão fixados os aros e que é atravessado pelo que os latinos chamam axis, escave um pequeno buraco nem maior nem mais profundo que o necessário para receber uma pequena esfera. Coloque uma caixa perpassada por um orifício acima desse miolo da carroça de tal modo que, depois de uma rotação completa da roda, uma única esfera possa sair dela para entrar na pequena cavidade. Encha a caixinha com pequenas esferas, e embaixo, ali onde a roda, ao girar, deixar cair a esfera que passou pelo buraco do fundo, instale uma bolsa ou outra coisa para recolhê-la. Creio que compreende que o número de voltas da roda lhe será fornecido pelo número de esferas que terão caído, e poderá saber quanto faz uma volta de roda. Contará portanto tantas esferas, tantas voltas de roda e tantas vezes tantos côvados. Eis um exemplo desenhado (FIGURA 28):

FIG. 28

[No mar, saber quanto uma fusta[11] faz por hora]

Pode-se fazer o mesmo para conhecer a rota no mar, fazendo uma roda com pás semelhantes às dos moinhos à guisa de aros e suspendendo-a ao lado do barco; para o restante escave, exatamente como eu disse no exemplo anterior, uma pequena cavidade sobre a parte do eixo que está no interior do barco. Mas quero apresentar-lhe agora uma forma notável de saber quanto sua fusta faz por hora pegando qualquer tipo de vento. Proceda como se segue.

Para saber quanto um veleiro percorreu, instale a grimpa, feita não de pluma, mas de madeira, fincada no timão, e tenha uma tabuinha fina como a pele, com um pé de comprimento e quatro dedos de largura. Fixe-a por meio de duas pequenas dobradiças na ponta mais baixa da grimpa, de forma que não gire para a direita e a esquerda como a grimpa, ou como faria uma maçaneta de porta, mas antes de cima para baixo, como a tampa de uma caixa que podemos abrir ou fechar; também é preciso ter um arco de círculo suspenso, fixado de forma que possa, sobre esse mesmo arco, marcar e anotar todas as posições atingidas pela tabuinha quando esta sobe ou desce. Para maior clareza, veja na FIGURA 29 com o quê se parece essa grimpa com a tabuinha e o arco de círculo.

FIG. 29

Não preciso convencê-lo de que, na ausência de vento, a tabuinha se inclinará, que com pouco vento se levantará um pouco e que com vento forte será fortemente erguida. Convirá portanto ter observado e aprendido, em outros lugares bem conhecidos do senhor, quanto a fusta percorre por hora com um vento tal que a tabuinha se erga até esta ou aquela marca, com suas velas ajustadas de tal maneira, com determinada carga, com tantos timões na água etc. E mantenha essas anotações precisas, sobre as marcas e as condições, a seu alcance. Esteja portanto atento, ao navegar, ao tempo durante o qual a fusta navega sob um vento correspondente a tal marca, e às outras condições que conhece, e assim terá um conhecimento exato de sua navegação, e não será necessário estimar as milhas percorridas de maneira arbitrária por outras conjeturas como fazem atualmente os marujos.

[ARQUIMEDES E A COROA DE HIÊRON]

O senhor também apreciará o que os antigos escreveram sobre Hiêron, tirano de Siracusa que mandou fazer um objeto em ouro, bastante pesado e de grande requinte, que, sobre a balança, tinha exatamente o peso de ouro que ele havia entregado aos ourives. Porém, insinuaram-lhe que os mestres ourives o tinham enganado e que o trabalho não era de ouro puro, mas misturado com prata. Hiêron, irritado, quis se assegurar do embuste sem destruir a obra; confiou essa tarefa ao matemático Arquimedes. Homem de uma inteligência superior, Arquimedes tornou a coisa evidente sem nada alterar ou deteriorar, da seguinte maneira.

Mandou confeccionar duas massas do mesmo peso que o artefato dos ourives, uma de ouro puro e outra de prata pura. Introduziu-as em vasos da mesma forma e das mesmas dimensões cheios d’água, e observou as quantidades de água que transbordaram. Mergulhou depois similarmente o artefato, e pelas relações entre os pesos descobriu a exata verdade sobre esse artefato. Era um espírito muito penetrante.

Quanto pesa a água em relação ao ouro, os antigos não o escreveram, porque há diferentes tipos de água. Mas decerto escreveram quanto pesam todos os metais em relação à cera pura. Dizem que se um cubo, uma esfera ou qualquer forma que seja, de certa dimensão, pesa 1 onça em cera, então o mesmo sólido em cobre puro pesará 8 onças e 16 denários[12], em venusiana pesará 8 onças e 1 denário, em estanho pesará 12 onças, em chumbo pesará 1 libra e 6 denários, e em ouro pesará 1 libra 7 onças e 9 denários. A partir disso podemos saber facilmente em que proporção o ouro é mais pesado que a prata na água, e a razão disso é evidente. De modo que, se um corpo qualquer pesa menos in se que um volume igual de água, ele subirá e tanto mais quanto menor for seu peso, e dele permanecerá imersa na água uma parte tal que uma quantidade igual de água terá um peso igual àquele do corpo. E os corpos que, in se, são mais pesados que a água permanecerão no fundo e descerão mais rápido e ocuparão um volume de água menor na mesma proporção que sejam mais pesados sendo de mesmo vulto e forma.20 Foi por meio de tais cálculos que descobri, para os arquitetos daqui, o peso de uma certa coluna que era para eles objeto de controvérsia. Peguei alguns pedaços da mesma pedra e alguns pedaços de um mármore cujo peso eu conhecia exatamente, depois os mergulhei na água e utilizei as diferenças. Poderia desenvolver esse gênero de coisas, mas isso bastará por ora. Caso tenha mais perguntas, responderei de bom grado. A medida de corpos tais como as colunas quadradas, redondas ou (comportando arestas) agudas, ou então de muitas faces, ou esferas ou outros sólidos similares, é um assunto mais difícil de tratar. Mas se isso lhe fosse agradável, poderia expor-lhe. Duvido contudo que possa acrescentar algo ao que os antigos fizeram, e o fizeram de uma forma que captamos tudo precisamente, com grande dificuldade e com conhecimentos de matemática. Não falei de muitas outras coisas que poderiam ter sido bastante divertidas apenas porque não encontrei maneira de falar sobre elas tão clara e abertamente quanto pretendia, e quanto a estas, não poupei esforços para exprimi-las e torná-las compreensíveis.

[4] Onça: a duodécima parte de uma libra (0,45 kg); grão: 1/4 do quilate (49,8 mg). (N.T.)

[5] Palmo: antiga unidade de medida equivalente a 22 cm. (N.T.)

[6] Columela: Lúcio Júnio Moderato Columela, escritor do século I, originário de Cádiz, na Espanha, e autor de um tratado de agronomia; Savasorda: Abraham Bar Hiyya, chamado Savasorda, filósofo e matemático do século XII, é autor de diversos tratados que ajudaram a difundir a ciência árabe no Ocidente; Leonardo de Pisa: Leonardo Fibonacci (1075-1240), matemático italiano, escreveu um tratado sobre o ábaco que muito contribuiu para difundir no mundo cristão os conhecimentos matemáticos árabes e o emprego dos algarismos arábicos. (N.T.)

[7] Cadernal: caixa elíptica, de madeira ou metal, dentro da qual trabalham duas ou mais roldanas em um só eixo. (N.T.)

[8] Libra: medida equivalente de 460 kg. (N.T.)

[9] Bombarda: máquina de guerra que arremessava grandes pedras por meio de cordas e molas. (N.T.)

[10] Balista: máquina bélica para o arremesso de pedras.

[11] Fusta: embarcação comprida e estreita movida a remo. (N. T.)

[12] Denário: a décima parte de alguma coisa. (N.T.)

LEON BATTISTA ALBERTI

A PEQUENA BALANÇA

Tradução

ANDRÉ TELLES

SUMÁRIO

A PEQUENA BALANÇA, DE GALILEU GALILEI

Em memória de Pierre Souffrin, falecido

antes da publicação desta obra, que tudo lhe deve.

De Leon Battista Alberti ao ilustríssimo príncipe Meliaduse, marquês d’Este, estas páginas de entretenimentos matemáticos

Devo admitir que respondo bastante tardiamente, com esta pequena obra, aos anseios que Vossa Senhoria exprimiu. Poderia invocar muitas desculpas e razões, mas prefiro confiar-me a vossa indulgência e bondade, e pedir que me perdoeis. Vossa paciência talvez tenha sido compensada pelo prazer que espero sintais ao conhecer as coisas bastante lúdicas que aqui encontrareis reunidas, ou até mesmo ao pô-las em prática e delas se servir. Empenhei-me em descrevê-las mui claramente; devo, porém, salientar que se trata de matérias bem sutis, cuja exposição não dispensa o leitor de um esforço de atenção. Far-mei-as felicíssimo se ficásseis com ela. Caso desejeis saber mais sobre esses temas, mandai-me informar, tentarei cumprir vossos desejos. Por ora contentai-vos com isso: encontrareis [aqui] coisas notabilíssimas. Recomendo-vos meu irmão Charles, cujo devotamento vos é dedicado assim como a vossa família. Valete.

A PEQUENA BALANÇA

DE GALILEU GALILEI (1586)

Se é bem conhecido dos que se dão o trabalho de ler os autores antigos que Arquimedes descobriu o roubo do ourives na coroa de Hiêron, parece-me que a maneira como o grande homem teve de se comportar para chegar aí permaneceu até agora ignorada: com efeito, a ideia de que tenha procedido, como escreveram alguns, mergulhando a dita coroa na água, depois de ter feito o mesmo separadamente com quantidades iguais de ouro puro e de prata, e que tenha conseguido conhecer a mistura de ouro e prata de que era feita a coroa a partir das maiores ou menores quantidades de água transbordadas ou deslocadas, parece, por assim dizer, bem grosseira e distante da precisão; isso será percebido acima de tudo por aqueles que leram e compreenderam as sutis invenções de tão divino homem que chegaram até nós, que só fazem demonstrar a que ponto os outros espíritos lhe são inferiores, e a parca esperança que resta a qualquer um de poder um dia descobrir coisas comparáveis.

Eu julgaria antes que, espalhado o rumor de que Arquimedes teria descoberto o roubo utilizando água, algum escritor dessa época teria relatado o fato, e esse mesmo escritor, para acrescentar alguma coisa ao pouco que compreendera do rumor, teria dito que Arquimedes utilizara a água da forma que foi depois universalmente admitida.

Porém, sabendo que tal método era completamente impreciso e desprovido da exatidão necessária nas coisas do âmbito da matemática, fui várias vezes levado a me perguntar de que forma se poderia, utilizando a água, descobrir de maneira precisa a composição da mistura dos dois metais; e depois de ter relido com cuidado o que Arquimedes demonstra em seus livros Sobre as coisas colocadas na água e Sobre o equilíbrio dos corpos, veio-me finalmente ao espírito uma forma extremamente precisa de resolver nossa questão. Acho inclusive que foi dessa maneira que Arquimedes procedeu, não apenas em virtude de que é exata, mas porque, além disso, depende de demonstrações feitas pelo próprio Arquimedes.

Aquilo de que se trata é realizado por meio de uma balança cuja construção e instruções de uso serão descritas adiante, depois que tivermos apresentado o que se faz necessário para sua compreensão.

Primeiro é preciso saber que os corpos sólidos que, na água, vão ao fundo pesam menos na água que no ar uma quantidade igual ao peso [gravitas] no ar de um volume igual ao volume desse corpo. Isso foi demonstrado por Arquimedes, mas como sua demonstração é bastante indireta, vamos deixá-la de lado para não sermos levados longe demais; mostrarei isso de outras maneiras. Suponhamos então que mergulhásse-mos na água uma bola de ouro; se essa bola fosse feita de água não pesaria nada, já que a água na água não se move nem para baixo nem para cima. Logo, resulta daí que essa bola de ouro ultrapassa o peso da água; e é preciso entender da mesma forma para os outros metais. Uma vez que os metais são de peso diferente, seu peso na água será diminuído em diversas proporções. Suponhamos, por exemplo, que o ouro pese vinte vezes mais que a água; fica claro, segundo o que foi dito, que o ouro pesará menos na água que no ar a vigésima parte de seu peso. Suponhamos agora que a prata, que é menos pesada que o ouro, pese 12 vezes mais que a água; então, se a pesarmos na água, seu peso diminuirá 1/12. O peso do ouro reduz-se menos na água que o da prata, dado que aquele diminuiu 1/20, e esta, 1/12.

Se, portanto, suspendermos numa balança um metal, e no outro braço um contrapeso que pese o mesmo que o dito metal no ar, e se mergulharmos o metal na água deixando o contrapeso no ar, para que esse contrapeso equilibre o metal será preciso deslocá-lo para o ponto de suspensão.

Seja por exemplo ab a balança, seja c seu ponto de apoio, e seja uma massa de um metal qualquer suspensa em b, e seja d seu contrapeso.

Mergulhemos o peso, ou seja, b, na água.

O contrapeso d em a pesará mais, sendo preciso, portanto, para que equilibre o peso, deslocá-lo para o ponto de apoio, digamos em e; a distância ca será tantas vezes maior que a distância ae quanto o metal pesará mais que a água.

Suponhamos então que o peso colocado em b seja de ouro, e que, ao ser pesado na água, o contrapeso d esteja em e; e que, ao se fazer a mesma coisa com a prata puríssima, o contrapeso esteja em f quando se pesa a prata na água. O ponto f estará mais perto do ponto c, uma vez que a prata é, como a experiência mostra, menos pesada que o ouro, e a diferença [no texto entende-se “la differenza” por “a relação”] que há entre a distância af e a distância ae será a mesma que entre o peso do ouro e o da prata.

Mas se tivermos uma mistura de ouro e prata, é claro que,uma vez que contém prata, pesará menos que ouro puro; e que, uma vez que contém ouro, pesará mais que prata pura. Assim, quando a pesarmos no ar, se quisermos que o mesmo contrapeso a equilibre quando mergulhada na água, será preciso deslocá-la para o ponto de apoio c mais próximo que e, que é o limite para o ouro, e mais longe que f, que é o limite para a prata pura; ela cairá entre os dois limites e e f, e a relação na qual a distância ef ficar assim dividida nos dará, muito igualmente, a proporção dos dois metais que constituem essa mistura.

Por exemplo, digamos que a mistura de ouro e prata esteja em b, equilibrada no ar pelo contrapeso d. Quando se pesa a mistura na água, esse contrapeso é deslocado para g. Digo então que o ouro e a prata, que constituem essa mistura, estão entre si na mesma relação que as distâncias fg e ge.

Mas convém dizer que a distância gf, que termina na marcada prata, nos dará a quantidade de ouro, e que a distância ge, que termina na marca do ouro, nos dará a quantidade de prata; de modo que se fg é o dobro de ge, a mistura será de duas partes de ouro para uma de prata. Procedendo da mesma forma com outras misturas, encontraremos igualmente a quantidade dos metais puros.

Para construir a balança, pega-se uma régua com mais ou menos duas braças de comprimento, e quanto mais comprida for, mais preciso será o instrumento. Divide-se-lhe ao meio, onde será o ponto de apoio. Ajustam-se os braços para que fiquem em equilíbrio, afinando aquele que pesaria mais. Sobre um dos braços marque os pontos onde se encontram os contrapesos dos metais puros quando pesados na água, tendo o cuidado de fazer as pesagens com os metais mais puros que puder encontrar. Feito isso, resta encontrar a maneira de conhecer a proporção na qual as distâncias entre as marcas dos metais puros serão divididas pelas marcas das misturas.

A meu ver, proceder-se-á da seguinte forma.

Enrola-se um fio de aço muito fino sobre as marcas dos metais puros; nos intervalos entre as marcas, enrola-se um fio de latão puro e muito fino: os intervalos serão divididos em um grande número de partes iguais.

Por exemplo, rodeiam-se as marcas e e f com dois fios de aço (e isso para distingui-las do latão); preenche-se em seguida todo o espaço entre e e f enrolando-se um fio de latão muito fino, que dividirá a distância ef em numerosas partes iguais. Quando eu quiser depois conhecer a relação entre fg e ge, contarei os fios sobre fg e sobre ge, e se achar que há 40 fios sobre fg e 21, por exemplo, sobre ge, direi que, nessa mistura, há 40 de ouro para 21 de prata. Convém apontar aqui uma dificuldade na contagem: pois como os fios devem ser bem finos, o que é necessário à precisão, não é possível contá-los a olho nu, pois o olho se perde em espaços tão pequenos.

Logo, para contar com precisão, pegar-se-á um estilete muito fino, com o qual se percorre bem lentamente a distância sobre os fios, de modo que, tanto pelo ouvido como pela resistência que a mão sente a cada fio, contar-se-ão facilmente os ditos fios. Contando-se dessa maneira obtém-se da forma descrita a exata quantidade dos metais puros de que é composta a mistura. A assinalar, porém, que os componentes correspondem reciprocamente às distâncias; por exemplo, numa mistura de ouro e prata, os fios do lado da marca da prata nos darão a quantidade de ouro, e os do lado da marca do ouro nos darão a quantidade de prata. O mesmo deve ser entendido para as outras misturas.

Título original:

Ludi matematici

Tradução brasileira autorizada a partir da versão francesa

de Pierre Souffrin, Divertissements mathématiques

(copyright © 2002, Éditions du Seuil:

introdução, comentários e tradução francesa)

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Grafia atualizada respeitando o novo Acordo Ortográfico da Língua Portuguesa

Tradução: André Telles

Capa: Sérgio Campante

Produção do arquivo ePub: Rejane Megale

Edição digital: maio 2013

ISBN: 978-85-378-1163-4

ISBN: 978-85-378-1170-2

Table of Contents

Matemática Lúdica

Folha de Rosto

Dedicatória

Sumário

[PRIMEIRA PARTE]

Medir com a vista a altura de uma torre

Medir a largura de um rio

Medir a altura de uma torre da qual só se consegue avistar o topo

Medir a profundidade de um poço até o nível da água

[SEGUNDA PARTE]

Medir uma grande profundidade de água

Medir tempos

Agrimensura e nivelamento

Medir cargas muito pesadas

Uma outra utilização do equilibra: ajustar uma bombarda

Elaborar o mapa de uma cidade ou de uma região

Medir grandes distâncias

Arquimedes e a coroa de Hiêron

Copyright

A Pequena Balança

Folha de Rosto

Dedicatória

Sumário

A PEQUENA BALANÇA

Copyright